[Scientific]-Divergences of 42 – Gametheory

So während ich nu eine Runde im Zug hocke und darauf warte, das dieser (mit inzwischen 10 Minuten Verspätung) endlich mal wieder Fahrt Richtung Heimat nimmt. Weg aus der Großstadt wieder zurück ins Reich…ähh… zurück zur Heimat von Ypsilon und mir, dachte ich, ich schreibe mal wieder was für den Blog. Da ich aktuell mit dem Kopf aber sehr im Studium vertieft bin, dacht ich mir, ich schreibe etwas über Mathe, außerdem muss ich mich dann nicht ganz so schlecht fühlen das ich nicht an meinen Zettel weiter rumrechne. Zum Thema heute: Gametheory! Ich hab dieses Teilgebiet der angewandten Mathematik schon einmal erwähnt, als ich eben über das Übergebiet der Mathematik berichtet hab. Hier nur ein kurzer Recap, für die Leute die zu Faul sind den anderen Artikel anzuschauen:


Gametheory konzentriert sich darauf komplexe Systeme der realen Welt auf sog. Spiele(Games) runterzubrechen. Diese sind standatiesiert und haben bereits oft fertige Lösungen, die eben diese Spiele für einen Spieler perfektionieren sollten. Soweit in der Theorie, in der wirklichen Anwendung sieht das ganze nun allerdings mal wieder etwas komplexer aus, aber da die Leute, die den wirklichen Mathematischen Hintergrund dahinter wirklich verstehen, nun ich bezweifele das die wirklich diesen Blog lesen und/oder eine wirkliche Einführung in die Gametheory brauchen.

Nun ist allerdings wieder die Frage “Wie zur Hölle erkläre ich mathematische Konzepte ohne Mathe?” Tja, ich als Verfechter des Diagonalverfahrens(Von Ypsilon hier  erklärt), das ewige Bollwerk gegen die realitätsferne der Mathematik…und… ach sagen wir einfach, ich beweise gerne so, das es möglichst einfach ist und mit wenig bis gar keinem Mathematischen Grundwissen zu verstehen ist (Ja okay, außer der technische Beweis ist ne Zeile kürzer, dann nehm ich den.)…aber ich schweife ab: Ich werde euch versuchen die Gametheory anhand einiger ihrer Spiele näher zu bringen, für die Leute die diese kennen: Monty Hall Problem, Travelers’ Dilemma und dem Prisoners’ Dilema. Vielleicht auch noch mehr, aber ich bezweifele das ich so lange im Zug sitze. Vor ab: Verzeiht mir gelegentliche Anglizismen, alles das ich bisher zur Gametheory gelesen hab war auf Englisch und ich hab ehrlich gesagt keine Lust mir die deutschen Alternativen zu den Begriffen zu suchen.
Als aller erstes brauchen wir einen Begriff der essentiell für die Spiele ist:
Das Nash-Equilibrium:
OHne euch auch hier mit den mathematischen Details zu langweilen hand es sich um einen Zustand in einem Spiel. Dieser geht davon aus, das ein Spiel nicht nur von der Entscheidung eines Spielers abhängt, sondern von der kompletten spielenden Gruppe. Folgendes muss für ein Nash-Equilibrium wahr sein: Ein Spieler trifft seine Bestmöglichste Entscheidung, während er die wahrscheinliche Entscheidung seiner Mitspieler in Betracht zieht. Und seine Mitspieler das selbe machen. Ein Beispiel:
Wir betrachten 2 Spieler: Rambo-Ramon-Rainer(=:RRR) und Maik-Peter(=:MP). Ein Nash-Eauilibrium ist dann erreicht, wenn RRR seine bestmöglichste Entscheidung unter Betrachten der wahrscheinlichen Entscheidung von MP trifft, und MP seine bestmöglichste Entscheidung unter wahrscheinlichen Betrachtung der Entscheidung von RRR trifft.
Fangen wir mit dem intuitivsten Spiel an:
Das Prisoners’ Dilemma:
Beschreibung:
In einer Polizeioperation werden RRR und MP festgenommen und seperat befragt, beide haben das selbe Verbrechen begangen, sie waren Komplizen, wir unterstellen nun aber beiden das sie nur für sich selbst sorgen wollen und nicht für ihren Partner interessieren(Hier damit auch ein tolles Beispiel für die Komplexität des Übertragens dieser Szenarien auf die reale Welt.) Aber weiter zum Knackpunkt der Sache: Beiden wird der folgende Vorschlag gemacht: Sie sollen ihren Partner aufgeben, der dann wiederrum ein Jahr in Haft kommt. Reden beide, würden beide für 3 Monate in Haft kommen, redet keiner gehen sie beide frei.

Frage: Was ist die bestmöglichste Entscheidung für RRR?

Antwort: Diese ist hier noch ziemlich einfach und lässt sich einfach in einer “Payout Matrix” darstellen, betrachten wir das ganze doch aber ausführlich: Versetzen wir uns in RRR hinein. Redet er nicht, riskiert er für 1 Jahr hinter schwedische Gardinen zu gehen, hat aber auch die Chance frei zu kommen. Redet er, geht er sicher 1 Monat ins Gefängniss, aber riskiert maximal 3 Monate. Er vertaut MP nicht, seine logische Antwort ist also zu reden.
Man kann das ganze auch noch speizell über das Nash-Equilibrium interpretieren: RRR denkt über die Entscheidung von MP nach. (Die Erinnerung, wir gehen davon aus das beide sich total kacke finden und sich NICHT trauen) Nach kurzem Überlegen geht er davon aus, das MP redet. Würde er nun nicht reden, würde er sicher für ein Jahr in den Knast gehen, entsprechend redet er auch.

Soweit so intuitiv, ich denke diese Auflösung war nun für keinen eine wirkliche Überraschung. Gehen wir deshlab in viel unintuitiveres Terran:

Das Monty-Hall Problem
Benannt und distanziert basierend auf einer Game-Show aus den Staaten:
Beschreibung:
RRR nimmt an einer Game-Show teil. Das nun gespielte Spiel ist wie folgt aufgebaut:
Es gibt 3 Türen: Hinter einer ist ein Auto, hinter den anderen beiden Ziegen. Wir wollen das Auto(alternativ 2 Autos und eine Ziege, falls wir ein paar Schotten haben die zuhören- you know… what ever floats your goat). Der Moderator, der weißt was hinter welcher Tür ist, fragt uns welche Tür wir öffnen wollen: Wir wählen eine. Der Moderator, öffnet nun eine andere Tür, hinter der eine Ziege ist. Er fragt uns danach ob wir die Tür wechseln wollen.

Frage: Ist es besser, schelchter oder egal zu wechseln?

Antwort: Wir gehen von einem Moderator aus, der uns nicht in die Pfanne hauen will(Hier sollte eigentlich ein direkte Flame kommen – aber die verklagen Leute so gerne… Andessen gibt es hier dieses völlig zufällige, unbezogene Viedo). Die intuitive Antwort wäre : Es gibt jetzt noch zwei Türen => P=0,5 => es ist vollkommen egal ob ich wechsel oder nicht. Das ist allerdings falsch. Die richtige Antwort ist es: es ist besser zu wechseln, wechselt man hat man eine Gewinnchance von P = ⅔. Warum das so ist? Ich kann hier vor allem die grafische Anschauung von Wiki empfehlen, klarer kann man das nicht wirklich machen. Link.

Also kommen wir zum letzten und mit Abstand unintuitivsten Spiel:
Das Travelers’ Dilemma
Beschreibung:
RRR und MP machen eine Reise, beide haben die exakt selben Koffer mitgenommen, beide stellen am Zielflughafen fest, das ihre Koffer verloren gegangen sind. Nachdem sie sich beschwert haben, wird ihnen von der Fluggesellschaft mitgeteilt, das diese für maximal 100$ haften. Beide sollen nun den Wert ihrer (identischen!) Koffer nennen. Sagen beide das selbe, bekommen sie den genannten Betrag, sagen sie unterschiedliche Beträge, bekommen sie den geringeren. Allerdings erhält der niedrige Betrag 2$ dazu, während dem höheren 2$ abgezogen werden.(Bsp. RRR sagt 90, MP 88 => MP erhält 90, RRR 86)

Frage: Was ist die beste Antwort unter der Annahme das RRR sich weder trauen noch kennen.

Antwort: 2$. Warum? Wegen des Nash Equilibriums. Wir betrachten den Standpunkt von MP:
“Sage ich 99, hab ich die Chance auf 101… aber was ist wenn RRR das auch denkt, dann sage ich besser 98…aber was ist wenn er das auch denkt, also 97…aber was ist wenn er das auch denkt, also 96…”usw. Spielt man das durch, ist das Nash-Equilibrium also bei 2$ erreicht. Klingt blöd? Finde ich auch, ist aber so.

Addendum: Zum letzten Spiel gibt es übrigens einige Feldstudien, diese haben ergeben das die meisten Leute 100 oder Werte knapp darunter nennen. (Was ich übrigens auch tun würde, außer ich wüsste oder könnte vermuten das mein Gegner Mathematiker ist/das Spiel kennt… aber dann wäre die Vorraussetzung des nicht kennens verletzt.

Ich hoffe ihr hattet nun ein wenig Einsicht in die Spieletheorie und ihr fandet es interessant.

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