Scientific-Divergences of 42: Eine überall stetige, aber nirgendwo differenzierbare Funktion

Sowas gibt es, sagt jedes Lehrbuch, deshalb sollte man sehr vorsichtig sein mit allem was man tut. Nur, wenn man dann wissen will, wie zur Hölle eine solche Funktion aussehen soll, scheitert man. Man könnte also meinen, die Warnung sei rein scherzhafter Natur oder so theoretisch, dass sie wirklich niemals Anwendung finden kann. Man läge jedoch, so intuitiv die Annahme auch sein mag, weit daneben.

Ich gebe zu, die Funktion ist nicht gerade hübsch. Aber ihre Definition ist zumindest überschaubar. Die Funktion gehe von R nach R mit:

 

 

Hübsch, oder? Der Trick an der Sache ist natürlich das Unendliche in der Summe, was es recht schwer macht, die Funktion plotten zu lassen. Maple spielt aber bis zu einer Summe von  0 bis 98 wunderbar mit. Dann gibt es einen wunderschönen Funktionsgraphen, den ich hiermit offiziell zu meinem absoluten Lieblingsgraphen erkläre:

Richtig cool, oder? Warum das Ding nicht differenzierbar aber offensichtlich stetig ist, wird klarer, wenn man mal etwas heranzoomt:

Und noch ein bisschen näher:

Es sollte klar sein, was passiert, wenn man weiter heranzoomt: Das Ganze Ding oszilliert, und zwar richtig, richtig heftig. So heftig, dass sich keine Differenzierbarkeit auf ganz R ergibt, trotz Stetigkeit.

Praktische Anwendung? Nicht vorhanden. Aber das war ja auch nicht der Sinn der Mathematik, oder?

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