[Scientific] Divergences of 42: Bis zur Unendlichkeit und noch viel weiter

Oder: Warum selbst Mathematiker romantisch werden, wenn es um Macht  Mächtigkeit geht. 

Georg Cantor, Romantiker und Nerd

Im Ernst: Wer mal so einen richtigen Brainfuck haben will, der liest jetzt mit. Keine Sorge, es geht hier nicht darum mit logischen Ausdrücken oder hochmathematischen Beweisen beworfen zu werden, ich beschränke mich auf ganz einfache Mathematik.

 

Mächtigkeit

Was für endliche Mengen (natürliche Zahlen von 1 bis 10, Farben der Socken in der Schublade, Anzahl der Haare auf dem Kopf) die Anzahl ist, ist für unendliche Mengen (natürliche Zahlen, Socken die bis zum Ende der Zeit in Waschmaschinen verschwinden werden, Dummheit der Menschen) die Mächtigkeit.

Also konkret: Wenn ich sagen will: Ich hab genauso viele Socken wie du, beziehe ich mich auf die Anzahl. Wenn ich sagen will: Ich bin genauso dumm wie du, beziehe ich mich auf die Mächtigkeit. Denn: unendlich dumm sind wir beide, die Frage ist nur, wie unendlich.

 

Gleich mächtig

Philipp Rösler und Ich sind gleich mächtig. Nämlich gar nicht. Auf die Mathematik bezogen, tritt gleiche Mächtigkeit genau dann auf, wenn ich einem Element jeder Menge genau ein Element einer anderen zuordnen kann, sodass am Ende kein Element ohne Partner ist. Eher ein Gedächtnis das mit Bildern als mit Worten klar kommt? Kein Ding, gibt ein hübsches Bild mit rosa Pfeilen.

Jetzt mal zu interessanteren Fragen. Wie wäre es mit:

Gibt es mehr natürliche Zahlen als Quadratzahlen?

Denk mal selbst nach! Erst nachdem du eine Begründung für deine Antwort gefunden hast (dass die Antwort sofort stimmen muss, setze ich gar nicht voraus), sie hier nach:

Nein. Die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der Quadratzahlen sind gleich mächtig. Ich kann jedem Element in N ein Element in N² zuordnen. Nämlich 1 -> 1; 2 -> 4; 3 -> 9; 4 -> 16; n -> n².

Bis dahin verstanden? Gut, dann weiter:

 

Mehr als Unendlichkeit

Mehr als unendlich kann doch nicht gehen! Oder? Doch? Niemals! So ein Quatsch!

Ungefähr so lief auch mein Gedankengang, als ich das erste Mal davon gehört hab. Aber Fakt ist: Doch, es geht mehr als Unendlichkeit. Sogar viel mehr. Begeben wir uns mal auf die Suche:

Die natürlichen Zahlen sind unsere Ausgangsmenge, von der wir wissen, dass sie unendlich ist (fängt nämlich bei 1 an und hört nichtmehr auf).

Lässt sich eine Menge finden, die mächtiger ist als die natürlichen Zahlen?

Frage: Sind nie ganzen Zahlen (also negative, die Null und alle postiven Zahlen) mächtiger als die natürlichen?

Antwort: Leider nicht. Man kann zuordnen: 1 -> 0;  2 -> -1; 3 -> -2; 4 -> -3; n -> -n + 1

Mhh. Dann vielleicht:

Frage: Sind nie rationalen Zahlen (also alle Bruchzahlen) mächtiger als die natürlichen?

Antwort: Da kommt kein Mensch drauf. Zumindest keiner, der nicht zufällig Georg Cantor heißt. Der (inzwischen lange tot) kam nämlich auf eine echt clevere Idee:

Er ordnete die Bruchzahlen in einer Tabelle an. Die Spalte gibt dabei den Nenner, die Reihe den Zähler an. Dann zählte er das ganze diagonal ab. Deshalb nennt man das heute auch Cantors erstes Diagonalargument .

 Also: Die rationalen Zahlen sind abzählbar.

 

Was denn jetzt? Doch nicht mehr als Unendlichkeit?

Doch doch, keine Sorge. Die reellen Zahlen retten alle Romantiker hier. Die Sache ist nämlich: Viele Leute haben nach einer Möglichkeit gesucht, die reellen Zahlen abzuzählen, aber keine gefunden. An der Stelle tut sich ein heftiges Problem auf: So lange wir nicht beweisen können, dass sie unabzählbar sind, könnte man annehmen, sie seien abzählbar, wie alle anderen bekannten Mengen.

Den Beweis fand abermals Georg Cantor. Er stellte folgende These auf: Die reelen Zahlen können nicht auf irgend eine Art und Weise angeordnet werden. Das ist aber Bedingung um sie abzählen zu können.

Wie hat er das gemacht? Gar nicht mal so vertrackt. Erst mal hat er sich ein paar Zahlen vorgenommen und sie angeordnet (reelle natürlich, was das aufschreiben ein bisschen schwer macht. Ich führe seine Technik mal anhand 4 stelliger Zahlen durch.

0,6789

0,7521

0,8473

0,9555

Diese 4 Zahlen sind angeordnet, zumindest unter sich. Bedingung, dass sie auch abzählbar sind wäre, dass man keine Zahl finden kann, die diese Anordnung stört.

Hier zum Beispiel wäre es aber die Zahl 0,68. Verkackt. Jetzt die Verallgemeinerung, das zweite Cantorsche Diagonalargument :

z_1 = 0, \underline{a_{11}} \ a_{12} \ a_{13} \ldots

z_2 = 0, a_{21} \ \underline{a_{22}} \ a_{23} \ldots

z_3 = 0, a_{31} \ a_{32} \ \underline{a_{33}} \ldots

Trick ist wieder Diagonalität. Hier die der Kommastellen. Cantor bildet nämlich folgende Zahl:

Ist a11 = 5 nehmen wir als neue erste Nachkommaziffer 4. Falls nicht 5. Weiter mit a22. Ist das 5, so ist die zweite Nachkommaziffer 4. Ist es das nicht, dann 5. Parallel dazu a33, a44 bis ann.

Was haben wir jetzt davon? Defintiv eine Zahl, die noch nicht da war, sie ist ja von jeder Zahl in genau einer Ziffer verschieden. Die Anordnung, egal wie sorgfältig durchgeführt, ist damit putt-putt.

Die Romantiker freuts: Die reelen Zahlen kann man nicht anordnen. Sie sind damit nicht abzählbar. Deshalb sind sie mächtiger als die natürlichen Zahlen. Und damit gibt es mehr, als Unendlichkeit.

 

Abschluss

Wer das jetzt nicht verstanden hat, muss sich nicht grämen. Keine Sorge, das ist auch echt nicht einfach. Lies einfach nochmal. Und nochmal. Und nochmal. Der Moment, in dem du erkennst, was da abgeht, ist ziemlich cool.

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